高三数学知识点之三角函数(弧度与角度的转换公式)

角的概念的推广.弧度制.

任意角的三角函数.单位圆中的三角函数线.同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式.

两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.

正弦函数、余弦函数的图像和性质.周期函数.函数y=Asin(ωx+φ)的图像.正切函数的图像和性质.已知三角函数值求角.

正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.

考试要求:

(1)理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算.

(2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义;了解余切、正割、余割的定义;掌握同角三角函数的基本关系式;掌握正弦、余弦的诱导公式;了解周期函数与最小正周期的意义.

(3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式;掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.

(4)能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明.

(5)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图,理解A.ω、φ的物理意义.

(6)会由已知三角函数值求角,并会用符号arcsinx\arc-cosx\arctanx表示.

(7)掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形.

(8)“同角三角函数基本关系式:sin2α+cos2α=1,sinα/cosα=tanα,tanα•cosα=1”.

三角函数 知识要点

1. ①与α(0°≤α<360°)终边相同的角的集合(角α与角β的终边重合):{β|β=k*360°+α,k∈Z}

②终边在x轴上的角的集合: {β|β=k*180°,k∈Z}

③终边在y轴上的角的集合:{β|β=k*180°+90°,k∈Z}

④终边在坐标轴上的角的集合: {β|β=k*90°,k∈Z}

⑤终边在y=x轴上的角的集合:{β|β=k*180°+45°,k∈Z}

⑥终边在轴上y=-x轴上的角的集合:{β|β=k*180°-45°,k∈Z}

⑦若角α与角β的终边关于x轴对称,则角α与角β的关系:α=360°k-β

⑧若角α与角β的终边关于y轴对称,则角α与角β的关系:α=360°k+180°-β

⑨若角α与角β的终边在一条直线上,则角α与角β的关系:α=180°k+β

⑩角α与角β的终边互相垂直,则角α与角β的关系:α=360°k+β±90°

2. 角度与弧度的互换关系:360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′

注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零.

、弧度与角度互换公式: 1rad=180°/π≈57.30°=57°18ˊ. 1°=π/180ι≈0.01745(rad)

3、弧长公式:ι=|α|·r. 扇形面积公式:s扇形=1/2lr=1/2|α|·r²

4、三角函数:设α是一个任意角,在α的终边上任取(异于原点的)一点P(x,y)P与原点的距离为r,则sinα=y/r ; cosα=x/r ;tanα=y/x ; cotα=x/y ;secα=r/y ;. .

5、三角函数在各象限的符号:(一全二正弦,三切四余弦)

3364a1cdec9c4f0293e5f04398f26327

6、三角函数线

正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线: AT.

ce559eea6200479c98c5fa5471e8e10e

7. 三角函数的定义域:

236b639492c8431ab8e3be29f8e300bb

8、同角三角函数的基本关系式:sinα/cosα=tanα cosα/sinα=cotα

tan²α+cot²α=1 secα·sinα=1 secα·cosα=1

sin²α+cos²α=1 sec²α-tan²α=1 csc²α-cot²α=1

9、诱导公式:

8432dab10dfa4916bd3fa0fdbea9334a

“奇变偶不变,符号看象限”

三角函数的公式:(一)基本关系

3cdd20f2642641a2928eeda21f788425

公式组二

14d64b534f0b43d7a14cfefed8f9d622

公式组三

d239a6ab45da4bd986986aef29bf1320

公式组四

d2f234c81b56480ba699705d64a6b171

公式组五

af2ab560ab2743ea9057dd916225f0b9

公式组六

964ebef6f0644eb29a30af2bfccaf6be

(二)角与角之间的互换

公式组一

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

cos(α-β)=cosαsinβ+sinαcosβ

sin(α+β )=sinαcosβ+cosαsinβ

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαranβ)

公式组二

sin2α=2sinαcosα

cos2α=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²α

tan2α=2tanα/(1-tan²α)

sinα/2=±√cosα/2

cosα/2=±√(1+cosα)/2

tanα/2=±√√(1-cosα)/(1+cosα)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

公式组三

sinα=(2tan²α/2)/(1+tan²α/2)

cosα=(1-tan²α/2)/(1+tan²α/2)

tanα=(2tanα/2)/(1-tan²α/2)

公式组四

sinαcosβ=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosαsinβ=1/2[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosαsinβ=1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos(α-β)/2

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin(α-β)/2

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos(α-β)/2

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin(α-β)/2

公式组五

cos(1/2π-α)=sinα

sin(1/2π-α)=cosα

tan(1/2π-α)=cotα

cos(1/2π+α)=-sinα

tan(1/2π+α)=-cotα

sin(1/2π+α)=cosα

sin15°=cos75°=(√6-√2)/4,sin75°=cos15°=√6+√2)/4,tan15°=cot75°=2-√3,tan75°=cot15°=2+√3

10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:

938c9b96792d4ea9bd78169bae28e333

注意:①y=-sinx与y=sinx的单调性正好相反;y=-cosx与y=cosx的单调性也同样相反.一般地,若y=f(x)在[a,b]上递增(减),则y=-f(x)在[a.b]上递减(增).

②y=|sinx|与y=|cosx|的周期是π.

③y=sin(ωx+φ)或y=cos(ωx+φ)(ω≠0)的周期T=2π/|ω|.

y=|tanx/2|的周期为2π(T=π/|ω|=>T=2π,如图,翻折无效).

81115ca1f9bf42cb8376cc3ef8b2974c

④y=sin(ωx+φ)的对称轴方程是x=kπ+π/2(k∈Z),对称中心(kπ,0);y=cos(ωx+φ)的对称轴方程是x=kπ(k∈Z),对称中心(kπ+1/2π,0);y=tan(ωx+φ)的对称中心(kπ/2,0).y=cos2x→原点对称→y=-cos(-2x)=-cos2x

⑤当tanα·tanβ=1,α+β=kπ+π/2(k∈Z);tanα·tanβ=-1·α-β=kπ+π/2(k∈Z).

⑥y=cosx与y=sin(x+π/2+2kπ)是同一函数,而是偶函数,则y=(ωx+φ)=sin(ωx+kπ+1/2π)=±cos(ωx).

⑦函数y=tanx在R上为增函数.(×) [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域,y=tanx为增函数,同样也是错误的].

⑧定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件:一是定义域关于原点对称(奇偶都要),二是满足奇偶性条件,偶函数:f(-x)=f(x)*,奇函数:f(-x)=-f(x)

奇偶性的单调性:奇同偶反. 例如:ttanx是奇函数,y=tan(x+1/3π)是非奇非偶.(定义域不关于原点对称)

奇函数特有性质:若0∈x的定义域,则f(x)一定有f(0)=0.(0不属于x的定义域,则无此性质)

⑨y=sin|x|不是周期函数;y=|sinx|为周期函数(T=π);

y=cos|x|是周期函数(如图);y=|cosx|为周期函数(T=π);

033937d8a3bd43c9bb94ae1dc164c4ea

y=|cos2x+1/2|的周期为π(如图),并非所有周期函数都有最小正周期,例如:y=f(x)=5=f(x+k),k∈R .

749e5374b100439fbc93eac3c4e6d8ea

⑩ y=αcosα+bsinβ=√(a²+b²)*sin(α+β)+cosβ=b/a有√(a²+b²)≧|y|.

11、三角函数图象的作法:

1)、几何法:

2)、描点法及其特例——五点作图法(正、余弦曲线),三点二线作图法(正、余切曲线).

3)、利用图象变换作三角函数图象.

三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等.

函数y=Asin(ωx+φ)的振幅|A|,周期T=2π/|ω|,频率f=1/T=|ω|/2π,相位ωx+φ;初相φ(即当x=0时的相位).(当A>0,ω>0 时以上公式可去绝对值符号),

由y=sinx的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长(当|A|>1)或缩短(当0<|A|<1)到原来的|A|倍,得到y=Asinx的图象,叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换.(用y/A替换y)

由y=sinx的图象上的点的纵坐标保持不变,横坐标伸长(0<|ω|<1)或缩短(|ω|>1)到原来的倍,得到y=sinω x的图象,叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换.(用ωx替换x)

由y=sinx的图象上所有的点向左(当φ>0)或向右(当φ<0)平行移动|φ|个单位,得到y=sin(x+φ)的图象,叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移.(用x+φ替换x)

由y=sinx的图象上所有的点向上(当b>0)或向下(当b<0)平行移动|b|个单位,得到y=sinx+b的图象叫做沿y轴方向的平移.(用y+(-b)替换y)

由y=sinx的图象利用图象变换作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)(x∈R)的图象,要特别注意:当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象延x轴量伸缩量的区别。

4、反三角函数:

函数y=sinx,(x∈[-π/2,π/2])的反函数叫做反正弦函数,记作y=arcsinx,它的定义域是[-1,1],值域是[-π/2,π/2].

函数y=cosx,(x∈[0,π])的反应函数叫做反余弦函数,记作y=arccosx,它的定义域是[-1,1],值域是[0,π].

函数y=tanx,(x∈[-π/2,π/2])的反函数叫做反正切函数,记作y=arctanx,它的定义域是(-∞,+∞),值域是(-π/2,π/2).

函数y=ctgx,[x∈(0,π)]的反函数叫做反余切函数,记作y=arcctgx,它的定义域是(-∞,+∞),值域是(0,π).

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